日本に古くからある工法です。
現存する世界一古い木造建築は日本の法隆寺であると言われるほど日本の木造建築は歴史があります。
その木造軸組工法も様々に変化・発展し、多くの種類がありますので一概には何が良いかということは言えません。
木は身近な材料であり、軽量で加工性が良いため様々な用途に使われています。
住宅もその一つであり、優れた木の利点を活用して建築されています。

軸組工法のメリットとしては、

鉄骨や鉄筋コンクリートと比較して建築費が安い
間取りの自由度が高い
リフォームがしやすい
工期が短い　おおよそ4か月～5か月ぐらい

デメリットとしては

大工さんなどの職人の技量に左右される
耐震性がとりにくい
断熱性・気密性がとりにくい
遮音性がとりにくい

以上のデメリットについては、軸組工法であっても対策が取られており、十分に補うことが可能になっています。建築の際には、確認されることをお勧めします。

ツーバイフォー工法は、北米やカナダで主流となる工法です。規格の木材の枠組みに合板を張り面を作って建物を支えます。ツーバイフォー（2×4）は38mm×89ｍｍの木材で2×6や2×8といった大きさの材を組み合わせます。

メリットとしては

工期が短く品質が安定している
耐震性・耐火性が取りやすい
気密性・断熱性が取りやすい

デメリットとしては

間取りの自由度がやや低い
リフォームが制限される
建築中・屋根ができるまでの雨に注意
壁の内部結露に注意が必要

こちらのデメリットについても補う方法もありますので、建築の際には確認をすることをお勧めします。